СМО n-канальная без очереди

СМО n-канальная без очереди

СМО n-канальная без очереди — это система массового обслуживания, в которой есть каналы обслуживания, но нет очереди: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается любым одним каналом, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается одним из свободных каналов, иначе если заявка приходит - когда заняты все каналы, то заявка покидает систему (теряется). Максимальное число заявок в системе равно числу каналов.

Описание модели

На вход n-канальной СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается любым одним из n-каналов.

Если заявка застаёт свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание любым из свободных каналов и обслуживается до конца.

Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она получает отказ (покидает систему не обслуженной).

После окончания обслуживания одной заявки освобождается один канал.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/n/0 – СМО n-канальная без очереди (с отказами).

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом;

S₂ – в системе имеется 2-заявки, они обслуживается 2-каналами;

…;

S_i-1 – в системе имеется (i-1)-заявок, они обслуживаются (i-1)-каналами;

S_i – в системе имеется i-заявок, они обслуживаются i-каналами.

S_i+1 – в системе имеется (i+1)-заявок, они обслуживаются (i+1)-каналами;

…;

S_n-2 – в системе имеется (n-2)-заявок, они обслуживаются (n-2)-каналами;

S_n-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами;

S_n – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами.

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно p₀,p₁,…,p_n.

В результате получаем решение системы:

Основные характеристики системы

• Заметим, что при n=1 СМО без очереди становится одноканальной.

Другие СМО:

• СМО n-канальная без очереди;
• СМО n-канальная с m-очередью;
• СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
• СМО с бесконечным числом каналов;
• СМО n-канальная с бесконечной очередью;
• СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
• СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
• СМО замкнутая n-канальная без очереди;
• СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
• СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
• СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками.

Ссылки

• Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.