Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем ожидания — различия между версиями
м |
м |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
[[файл:СМО1mt.png|thumb|300|Одноканальная СМО с ограниченным временем ожидания]] | [[файл:СМО1mt.png|thumb|300|Одноканальная СМО с ограниченным временем ожидания]] | ||
'''Одноканальная [[СМО с ограниченным временем ожидания]]''' — это [[система массового обслуживания]] с очередью, в которой "нетерпеливая" заявка может уйти из очереди, не дождавшись обслуживания. | '''Одноканальная [[СМО с ограниченным временем ожидания]]''' — это [[система массового обслуживания]] с очередью, в которой "нетерпеливая" заявка может уйти из очереди, не дождавшись обслуживания. | ||
| + | Максимальное число заявок в системе равно числу мест в очереди плюс 1. | ||
== Описание модели == | == Описание модели == | ||
На вход одноканальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. | На вход одноканальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. | ||
| Строка 25: | Строка 26: | ||
'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, канал свободен; | '''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, канал свободен; | ||
| − | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется '''1'''-заявка, она обслуживается '''1'''-каналом; |
| − | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, '''1'''-заявка "нетерпеливо" ожидает в очереди; |
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>i-1</sub>''' – в системе имеется '''(i-1)'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается каналом, '''(i-2)'''-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди; |
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>i</sub>''' – в системе имеется '''i'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается каналом, '''(i-1)'''-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди; |
| + | |||
| + | '''S<sub>i+1</sub>''' – в системе имеется '''(i+1)'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается каналом, '''i'''-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди; | ||
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub>m</sub>''' – в системе имеется '''m'''-заявок, | + | '''S<sub>m-1</sub>''' – в системе имеется '''(m-1)'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, '''(m-2)'''-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди; |
| + | |||
| + | '''S<sub>m</sub>''' – в системе имеется '''m'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, '''(m-1)'''-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди; | ||
| − | '''S<sub>m+1</sub>''' – в системе имеется '''(m+1)'''-заявок, | + | '''S<sub>m+1</sub>''' – в системе имеется '''(m+1)'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, '''m'''-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди; |
== Система дифференциальных уравнений == | == Система дифференциальных уравнений == | ||
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | ||
Версия 17:29, 22 августа 2025
Одноканальная СМО с ограниченным временем ожидания — это система массового обслуживания с очередью, в которой "нетерпеливая" заявка может уйти из очереди, не дождавшись обслуживания. Максимальное число заявок в системе равно числу мест в очереди плюс 1.
Содержание
Описание модели
На вход одноканальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.
Интенсивность простейшего потока обслуживания канала μ.
Если заявка застаёт канал свободным, то она принимается на обслуживание и обслуживается каналом. После окончания обслуживания канал освобождается.
Если заявка застаёт канал занятым, то она становится в очередь и "нетерпеливо" (в пределах ограниченного времени ожидания) ждёт своего обслуживания, иначе заявка уходит из очереди и исключается из обслуживания.
Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
М/М/1/m – Одноканальная СМО с ограниченным временем ожидания
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, канал свободен;
S1 – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом;
S2 – в системе имеется 2-заявки, 1-заявка обслуживается 1-каналом, 1-заявка "нетерпеливо" ожидает в очереди;
…;
Si-1 – в системе имеется (i-1)-заявок, 1-заявка обслуживается каналом, (i-2)-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди;
Si – в системе имеется i-заявок, 1-заявка обслуживается каналом, (i-1)-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди;
Si+1 – в системе имеется (i+1)-заявок, 1-заявка обслуживается каналом, i-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди;
…;
Sm-1 – в системе имеется (m-1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, (m-2)-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди;
Sm – в системе имеется m-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, (m-1)-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди;
Sm+1 – в системе имеется (m+1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, m-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди;
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,m+1), получаем упрощённый вид системы.
Решим систему относительно p0,p1,…,pm+1.
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы
Другие одноканальные СМО:
- Одноканальная СМО без очереди;
- Одноканальная СМО с m-очередью;
- Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
- Одноканальная СМО с бесконечной очередью;
- Одноканальная СМО замкнутая без очереди;
- Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью;
- Одноканальная СМО замкнутая без очереди и с k источниками;
- Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью и с k источниками.
Ссылки
- Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
