СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью — различия между версиями
(начало) |
м |
||
| (не показаны 23 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | [[файл: | + | [[файл:СМОnmn.png|thumb|300|СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью]] |
| − | '''[[СМО с | + | '''[[СМО n-канальная с m-очередью]] [[СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью|и с взаимопомощью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой всегда есть взаимопомощь между каналами обслуживания: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается всеми каналами, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается частью каналов, иначе если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов и число мест в очереди, то она становится в очередь, в остальных случаях заявка покидает систему (теряется). |
| + | Максимальное число заявок в системе равно сумме числа каналов и мест в очереди. | ||
| + | == Обозначения == | ||
| + | '''n''' – число каналов обслуживания; | ||
| + | |||
| + | '''m''' – число мест в очереди; | ||
| + | |||
| + | '''λ''' – интенсивность простейшего потока заявок; | ||
| + | |||
| + | '''μ''' – интенсивность простейшего потока обслуживания. | ||
== Описание модели == | == Описание модели == | ||
На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала '''μ'''. | На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала '''μ'''. | ||
| Строка 12: | Строка 21: | ||
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание: часть каналов обслуживает первую заявку, часть приступает к обслуживанию второй заявки. Разделение каналов совершенно произвольное. | Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание: часть каналов обслуживает первую заявку, часть приступает к обслуживанию второй заявки. Разделение каналов совершенно произвольное. | ||
| − | Если система обслуживает '''k'''-заявок | + | Если система обслуживает '''k'''-заявок '''(k=1,n-1)''', то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание и все '''(k+1)'''-заявок обслуживаются '''n'''-каналами, распределёнными произвольно между заявками, но так, что все каналы заняты обслуживанием. |
Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки терпеливые). | Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки терпеливые). | ||
| Строка 18: | Строка 27: | ||
Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освободившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию остальных заявок, находящихся в системе. Таким образом, при наличии в системе хотя бы одной заявки все '''n'''-каналов всё время будут заняты. | Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освободившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию остальных заявок, находящихся в системе. Таким образом, при наличии в системе хотя бы одной заявки все '''n'''-каналов всё время будут заняты. | ||
| − | Если система обслуживает '''n'''-заявок | + | Если система обслуживает '''n'''-заявок '''(k=n)''', то каждая из них обслуживается одним каналом, а вновь прибывшая заявка встаёт в очередь и ожидает освобождения хотя бы одного из каналов. |
| − | Если в системе имеется '''(n+r)'''-заявок | + | Если в системе имеется '''(n+r)'''-заявок '''(r=1,m-1)''', то '''n'''-заявок из них обслуживаются и '''r'''-заявок ожидают в очереди, а вновь прибывшая заявка становится в очередь. Максимальное число мест в очереди '''m'''. |
Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди '''m'''-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания. | Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди '''m'''-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания. | ||
| Строка 26: | Строка 35: | ||
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе. | Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе. | ||
== Граф состояний == | == Граф состояний == | ||
| − | [[файл:СМО50.JPG]] | + | <!--[[файл:СМО50.JPG]]--> |
| + | '''М/М/n/m''' – СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью. | ||
| + | |||
| + | [[файл:СМОnmn.png]] | ||
Рассмотрим множество состояний системы: | Рассмотрим множество состояний системы: | ||
| Строка 32: | Строка 44: | ||
'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны; | '''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны; | ||
| − | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется '''1'''-заявка, она обслуживается всеми '''n'''-каналами; |
| − | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, они обслуживается '''n'''-каналами; |
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>n-1</sub>''' – в системе имеется '''(n-1)'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами; |
| − | |||
| − | |||
'''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, очереди нет; | '''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, очереди нет; | ||
| − | '''S<sub>n+1</sub>''' – в системе имеется '''(n+1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а | + | '''S<sub>n+1</sub>''' – в системе имеется '''(n+1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''1'''-заявка ожидает в очереди; |
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub>n+ | + | '''S<sub>n+m-2</sub>''' – в системе имеется '''(n+m-2)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''(m-2)'''-заявок ожидают в очереди; |
| − | ''' | + | '''S<sub>n+m-1</sub>''' – в системе имеется '''(n+m-1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''(m-1)'''-заявок ожидают в очереди; |
'''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок ожидают в очереди; | '''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок ожидают в очереди; | ||
| Строка 56: | Строка 66: | ||
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | ||
| − | [[файл:СМО52.JPG]] | + | <!--[[файл:СМО52.JPG]]--> |
| + | [[файл:СДУnmn.png]] | ||
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞'''). | Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞'''). | ||
| − | + | == Система линейных уравнений == | |
Система уравнений принимает вид: | Система уравнений принимает вид: | ||
| − | [[файл:СМО53.JPG]] | + | <!--[[файл:СМО53.JPG]]--> |
| + | [[файл:СЛУnmn.png]] | ||
Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,n+m'''), получаем упрощённый вид системы. | Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,n+m'''), получаем упрощённый вид системы. | ||
| + | == Решение системы линейных уравнений == | ||
| + | Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,p<sub>2</sub>,…,p<sub>n+m</sub>'''. | ||
| − | + | <!--[[файл:СМО54.JPG]]--> | |
| − | + | [[файл:СЛУnmn01.png]] | |
| − | [[файл: | ||
В результате получаем решение системы: | В результате получаем решение системы: | ||
| − | [[файл:СМО55.JPG]] | + | <!--[[файл:СМО55.JPG]]--> |
| + | [[файл:СЛУnmn02.png]] | ||
== Основные характеристики системы == | == Основные характеристики системы == | ||
[[файл:СМО56.JPG]] | [[файл:СМО56.JPG]] | ||
| Строка 82: | Строка 96: | ||
[[файл:СМО58.JPG]] | [[файл:СМО58.JPG]] | ||
| + | *Заметим, что при '''n>0,m>0,λ<sub>i-1</sub>=λ,μ<sub>i</sub>=nμ,i=1,n+m''' [[система массового обслуживания]] становится '''СМО n-канальной с m-очередью и с взаимопомощью'''. | ||
== [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] == | == [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] == | ||
{{Список СМО}} | {{Список СМО}} | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
| − | *Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. | + | *Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969, стр.192-202. |
| − | + | [[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | |
| − | [[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | ||
Текущая версия на 09:54, 16 октября 2025
СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью — это система массового обслуживания, в которой всегда есть взаимопомощь между каналами обслуживания: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается всеми каналами, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается частью каналов, иначе если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов и число мест в очереди, то она становится в очередь, в остальных случаях заявка покидает систему (теряется). Максимальное число заявок в системе равно сумме числа каналов и мест в очереди.
Содержание
Обозначения
n – число каналов обслуживания;
m – число мест в очереди;
λ – интенсивность простейшего потока заявок;
μ – интенсивность простейшего потока обслуживания.
Описание модели
На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.
Интенсивность потока обслуживания с взаимопомощью между каналами всегда равна nμ.
Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается всеми n-каналами одновременно, при этом производительность увеличивается в n-раз.
После окончания обслуживания все каналы освобождаются одновременно.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание: часть каналов обслуживает первую заявку, часть приступает к обслуживанию второй заявки. Разделение каналов совершенно произвольное.
Если система обслуживает k-заявок (k=1,n-1), то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание и все (k+1)-заявок обслуживаются n-каналами, распределёнными произвольно между заявками, но так, что все каналы заняты обслуживанием.
Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки терпеливые).
Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освободившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию остальных заявок, находящихся в системе. Таким образом, при наличии в системе хотя бы одной заявки все n-каналов всё время будут заняты.
Если система обслуживает n-заявок (k=n), то каждая из них обслуживается одним каналом, а вновь прибывшая заявка встаёт в очередь и ожидает освобождения хотя бы одного из каналов.
Если в системе имеется (n+r)-заявок (r=1,m-1), то n-заявок из них обслуживаются и r-заявок ожидают в очереди, а вновь прибывшая заявка становится в очередь. Максимальное число мест в очереди m.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
М/М/n/m – СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью.
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
S1 – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается всеми n-каналами;
S2 – в системе имеется 2-заявки, они обслуживается n-каналами;
…;
Sn-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются n-каналами;
Sn – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет;
Sn+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а 1-заявка ожидает в очереди;
…;
Sn+m-2 – в системе имеется (n+m-2)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-2)-заявок ожидают в очереди;
Sn+m-1 – в системе имеется (n+m-1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-1)-заявок ожидают в очереди;
Sn+m – в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок ожидают в очереди;
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система линейных уравнений
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.
Решение системы линейных уравнений
Решим систему относительно p0,p1,p2,…,pn+m.
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы
При χ≠1 получаем
При χ=1 получаем
- Заметим, что при n>0,m>0,λi-1=λ,μi=nμ,i=1,n+m система массового обслуживания становится СМО n-канальной с m-очередью и с взаимопомощью.
Другие СМО:
- СМО n-канальная без очереди;
- СМО n-канальная без очереди и с ограниченным временем обслуживания;
- СМО n-канальная без очереди и со случайным результатом обслуживания;
- СМО n-канальная без очереди и со случайным выбором канала;
- СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
- СМО n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
- СМО n-канальная с m-очередью;
- СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания;
- СМО n-канальная с m-очередью и со случайным результатом обслуживания;
- СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
- СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания;
- СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
- СМО n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
- СМО n-канальная с бесконечной очередью;
- СМО n-канальная с бесконечной очередью и с убывающим потоком заявок;
- СМО с бесконечным числом каналов;
- СМО с бесконечным числом каналов и с ограниченным временем обслуживания;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источниками и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источниками и с частичной взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с частичной взаимопомощью.
Ссылки
- Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969, стр.192-202.
