СМО замкнутая с очередью — различия между версиями

Материал из Мегапедии
Перейти к: навигация, поиск
м
м
 
(не показано 11 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
[[файл:СМО42.JPG|thumb|300|[[Математическая модель]] СМО замкнутой]]
+
[[файл:СМОnmnm.png|thumb|300|Замкнутая СМО с очередью]]
'''[[СМО замкнутая без очереди|СМО замкнутая]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой есть фиксированное число источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность.  
+
'''[[СМО замкнутая без очереди|Замкнутая СМО]] [[СМО с очередью|с очередью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой есть '''n'''-каналов, '''m'''-мест в очереди, '''(n+m)'''-источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность.  
Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в "число источников"-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на  интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она становится в очередь и ожидает освобождения канала, который её может обслужить.
+
Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в '''(n+m)'''-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на  интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она становится в очередь и ожидает освобождения канала, который её может обслужить.
 
== Описание модели ==
 
== Описание модели ==
 
На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает поток заявок от '''(n+m)'''-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''.  
 
На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает поток заявок от '''(n+m)'''-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''.  
Строка 21: Строка 21:
 
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
 
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
 
== Граф состояний ==
 
== Граф состояний ==
[[файл:СМО41.JPG]]
+
<!--[[файл:СМО41.JPG]]-->
 +
'''М/М/n/m/n+m''' – Замкнутая СМО с очередью
 +
 
 +
[[файл:СМОnmnm.png]]
  
 
Рассмотрим множество состояний системы:
 
Рассмотрим множество состояний системы:
  
'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
+
'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны, '''(n+m)'''-источников заявок;
  
'''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;
+
'''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется '''1'''-заявка, она обслуживается '''1'''-каналом, '''(n+m-1)'''-источников заявок;
  
'''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется две заявки, они обслуживаются двумя каналами;
+
'''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, они обслуживаются '''2'''-каналами, '''(n+m-2)'''-источников заявок;
  
 
'''…''';
 
'''…''';
  
'''S<sub>k</sub>''' – в системе имеется '''k'''-заявок, они обслуживаются '''k'''-каналами;
+
'''S<sub>n-1</sub>''' – в системе имеется '''(n-1)'''-заявок, они обслуживаются '''(n-1)'''-каналами, '''(m+1)'''-источников заявок;
 
 
'''''';
 
  
'''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, очереди нет;
+
'''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, очереди нет, '''m'''-источников заявок;
  
'''S<sub>n+1</sub>''' – в системе имеется '''(n+1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а одна заявка ожидает в очереди;
+
'''S<sub>n+1</sub>''' – в системе имеется '''(n+1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''1'''-заявка в очереди, '''(m-1)'''-источников заявок;
  
 
'''…''';
 
'''…''';
  
'''S<sub>n+r</sub>''' – в системе имеется '''(n+r)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''r'''-заявок ожидают в очереди;
+
'''S<sub>n+m-2</sub>''' – в системе имеется '''(n+m-2)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''(m-2)'''-заявок в очереди, '''2'''-источника заявок;
  
'''''';
+
'''S<sub>n+m-1</sub>''' – в системе имеется '''(n+m-1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''(m-1)'''-заявок в очереди, '''1'''-источник заявок;
  
'''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок ожидают в очереди;
+
'''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок в очереди, источников заявок нет;
 
== Система дифференциальных уравнений ==
 
== Система дифференциальных уравнений ==
 
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
 
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Строка 72: Строка 73:
 
== Основные характеристики системы ==
 
== Основные характеристики системы ==
 
[[файл:СМО47.JPG]]
 
[[файл:СМО47.JPG]]
*Заметим, что при '''n=1''' СМО замкнутая становится [[Одноканальная СМО замкнутая|одноканальной]].
+
*Заметим, что при '''n=1''' СМО замкнутая становится [[Одноканальная СМО замкнутая с очередью|одноканальной]].
 
== [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] ==
 
== [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] ==
 
{{Список СМО}}
 
{{Список СМО}}
 
== Ссылки ==
 
== Ссылки ==
 
*Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, М.,1969.  
 
*Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, М.,1969.  
*[[Участник:Logic-samara]]  
+
[[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]]
[[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]]
 

Текущая версия на 14:10, 22 августа 2025

Замкнутая СМО с очередью

Замкнутая СМО с очередью — это система массового обслуживания, в которой есть n-каналов, m-мест в очереди, (n+m)-источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в (n+m)-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она становится в очередь и ожидает освобождения канала, который её может обслужить.

Описание модели

На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает поток заявок от (n+m)-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.

После окончания обслуживания один канал освобождается.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.

Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.

Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на поток от одного источника.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/n/m/n+m – Замкнутая СМО с очередью

СМОnmnm.png

Рассмотрим множество состояний системы:

S0 – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны, (n+m)-источников заявок;

S1 – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом, (n+m-1)-источников заявок;

S2 – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются 2-каналами, (n+m-2)-источников заявок;

;

Sn-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами, (m+1)-источников заявок;

Sn – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет, m-источников заявок;

Sn+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а 1-заявка в очереди, (m-1)-источников заявок;

;

Sn+m-2 – в системе имеется (n+m-2)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-2)-заявок в очереди, 2-источника заявок;

Sn+m-1 – в системе имеется (n+m-1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-1)-заявок в очереди, 1-источник заявок;

Sn+m – в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок в очереди, источников заявок нет;

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

СМО42.JPG

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система уравнений принимает вид:

СМО43.JPG

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно p0,p1,…,pn+m.

СМО44.JPG

СМО45.JPG

В результате получаем решение системы:

СМО46.JPG

Основные характеристики системы

СМО47.JPG

Другие СМО:

Ссылки

  • Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, М.,1969.