Одноканальная СМО с бесконечной очередью — различия между версиями
м |
м |
||
| (не показаны 3 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
[[файл:СМО18.png|thumb|300|Одноканальная СМО с бесконечной очередью]] | [[файл:СМО18.png|thumb|300|Одноканальная СМО с бесконечной очередью]] | ||
| − | '''Одноканальная [[СМО с бесконечной очередью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой всегда есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда канал занят, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить. | + | '''[[Одноканальная СМО с m-очередью|Одноканальная СМО]] [[СМО n-канальная с бесконечной очередью|с бесконечной очередью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой всегда есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда канал занят, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить. |
== Описание модели == | == Описание модели == | ||
На вход одноканальной СМО с бесконечной очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. | На вход одноканальной СМО с бесконечной очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. | ||
| Строка 17: | Строка 17: | ||
== Граф состояний == | == Граф состояний == | ||
<!--[[файл:СМО811.JPG]]--> | <!--[[файл:СМО811.JPG]]--> | ||
| − | '''М/М/1/∞''' – Одноканальная СМО с бесконечной очередью | + | '''М/М/1/∞''' – Одноканальная СМО с бесконечной очередью. |
[[файл:СМО18.png]] | [[файл:СМО18.png]] | ||
| Строка 25: | Строка 25: | ||
'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, канал свободен; | '''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, канал свободен; | ||
| − | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется '''1'''-заявка, она обслуживается '''1'''-каналом; |
| − | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, '''1'''-заявка ожидает в очереди; |
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>i-1</sub>''' – в системе имеется '''(i-1)'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, а '''(i-2)'''-заявок ожидают в очереди; |
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>i</sub>''' – в системе имеется '''i'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, а '''(i-1)'''-заявок ожидают в очереди; |
| + | |||
| + | '''S<sub>i+1</sub>''' – в системе имеется '''(i+1)'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, а '''i'''-заявок ожидают в очереди; | ||
'''…'''. | '''…'''. | ||
Текущая версия на 14:37, 23 августа 2025
Одноканальная СМО с бесконечной очередью — это система массового обслуживания, в которой всегда есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда канал занят, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить.
Содержание
Описание модели
На вход одноканальной СМО с бесконечной очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.
Интенсивность простейшего потока обслуживания канала μ.
Если заявка застаёт канал свободным, то она принимается на обслуживание и обслуживается каналом. После окончания обслуживания канал освобождается.
Если заявка застаёт канал занятым, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.
Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается.
Число мест в очереди не ограничено.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
М/М/1/∞ – Одноканальная СМО с бесконечной очередью.
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, канал свободен;
S1 – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом;
S2 – в системе имеется 2-заявки, 1-заявка обслуживается 1-каналом, 1-заявка ожидает в очереди;
…;
Si-1 – в системе имеется (i-1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, а (i-2)-заявок ожидают в очереди;
Si – в системе имеется i-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, а (i-1)-заявок ожидают в очереди;
Si+1 – в системе имеется (i+1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, а i-заявок ожидают в очереди;
….
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,∞), получаем упрощённый вид системы.
Решим систему относительно p0,p1,…, pr, pr+1,….
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы
При ρ<1 получаем
Другие одноканальные СМО:
- Одноканальная СМО без очереди;
- Одноканальная СМО с m-очередью;
- Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
- Одноканальная СМО с бесконечной очередью;
- Одноканальная СМО замкнутая без очереди;
- Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью;
- Одноканальная СМО замкнутая без очереди и с k-источниками;
- Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью и с k-источниками.
Ссылки
- Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
