Одноканальная СМО с m-очередью — различия между версиями
м |
м |
||
| (не показано 12 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | [[файл:СМО1m.png|thumb|300|Одноканальная СМО с очередью]] | + | [[файл:СМО1m.png|thumb|300|Одноканальная СМО с m-очередью]] |
| − | '''Одноканальная [[СМО с очередью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда канал занят, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить. | + | '''[[Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем ожидания|Одноканальная СМО]] [[СМО n-канальная с m-очередью|с m-очередью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда канал занят, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить. |
| + | Максимальное число заявок в системе равно числу мест в очереди плюс 1. | ||
| + | == Обозначения == | ||
| + | '''n''' – число каналов обслуживания, '''n=1'''; | ||
| + | |||
| + | '''m''' – число мест в очереди; | ||
| + | |||
| + | '''λ''' – интенсивность простейшего потока заявок; | ||
| + | |||
| + | '''μ''' – интенсивность простейшего потока обслуживания. | ||
== Описание модели == | == Описание модели == | ||
| − | На вход | + | На вход одноканальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. |
Интенсивность простейшего потока обслуживания канала '''μ'''. | Интенсивность простейшего потока обслуживания канала '''μ'''. | ||
| Строка 17: | Строка 26: | ||
== Граф состояний == | == Граф состояний == | ||
<!--[[файл:СМО211.JPG]]--> | <!--[[файл:СМО211.JPG]]--> | ||
| − | '''М/М/1/0''' – Одноканальная СМО с очередью | + | '''М/М/1/0''' – Одноканальная СМО с m-очередью. |
[[файл:СМО1m.png]] | [[файл:СМО1m.png]] | ||
| Строка 25: | Строка 34: | ||
'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, канал свободен; | '''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, канал свободен; | ||
| − | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется '''1'''-заявка, она обслуживается '''1'''-каналом; |
| − | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, '''1'''-заявка ожидает в очереди; |
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>m-1</sub>''' – в системе имеется '''(m-1)'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, а '''(m-2)'''-заявок ожидают в очереди. |
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>m</sub>''' – в системе имеется '''m'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, а '''(m-1)'''-заявок ожидают в очереди. |
| − | + | '''S<sub>m+1</sub>''' – в системе имеется '''(m+1)'''-заявок, одна обслуживается '''1'''-каналом, а '''m'''-заявок ожидают в очереди. | |
| − | |||
| − | '''S<sub>m</sub>''' – в системе имеется '''m'''-заявок, одна обслуживается | ||
| − | |||
| − | |||
== Система дифференциальных уравнений == | == Система дифференциальных уравнений == | ||
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | ||
| − | [[файл:СМО221.JPG]] | + | <!--[[файл:СМО221.JPG]]--> |
| + | [[файл:СДУ1m.png]] | ||
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞'''). | Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞'''). | ||
| − | + | == Система линейных уравнений == | |
Система уравнений принимает вид: | Система уравнений принимает вид: | ||
| − | [[файл:СМО231.JPG]] | + | <!--[[файл:СМО231.JPG]]--> |
| + | [[файл:СЛУ1m.png]] | ||
Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,m+1'''), получаем упрощённый вид системы. | Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,m+1'''), получаем упрощённый вид системы. | ||
| + | == Решение системы линейных уравнений == | ||
| + | Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,p<sub>2</sub>,…,p<sub>m+1</sub>'''. | ||
| − | + | <!--[[файл:СМО241.JPG]]--> | |
| − | + | [[файл:СЛУ1m01.png]] | |
| − | [[файл: | ||
В результате получаем решение системы: | В результате получаем решение системы: | ||
| − | + | <!--[[файл:СМО261.JPG]]--> | |
| − | [[файл:СМО261.JPG]] | + | [[файл:СЛУ1m02.png]] |
== Основные характеристики системы == | == Основные характеристики системы == | ||
[[файл:СМО271.JPG]] | [[файл:СМО271.JPG]] | ||
| Строка 74: | Строка 82: | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
*Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. | *Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. | ||
| − | * | + | *Л.Клейнрок. Теория массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1979,стр.121-122. |
[[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | [[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | ||
Текущая версия на 17:51, 3 октября 2025
Одноканальная СМО с m-очередью — это система массового обслуживания, в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда канал занят, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить. Максимальное число заявок в системе равно числу мест в очереди плюс 1.
Содержание
Обозначения
n – число каналов обслуживания, n=1;
m – число мест в очереди;
λ – интенсивность простейшего потока заявок;
μ – интенсивность простейшего потока обслуживания.
Описание модели
На вход одноканальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.
Интенсивность простейшего потока обслуживания канала μ.
Если заявка застаёт канал свободным, то она принимается на обслуживание и обслуживается каналом. После окончания обслуживания канал освобождается.
Если вновь прибывшая заявка застаёт канал занятым, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.
Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
М/М/1/0 – Одноканальная СМО с m-очередью.
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, канал свободен;
S1 – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом;
S2 – в системе имеется 2-заявки, 1-заявка обслуживается 1-каналом, 1-заявка ожидает в очереди;
…;
Sm-1 – в системе имеется (m-1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, а (m-2)-заявок ожидают в очереди.
Sm – в системе имеется m-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, а (m-1)-заявок ожидают в очереди.
Sm+1 – в системе имеется (m+1)-заявок, одна обслуживается 1-каналом, а m-заявок ожидают в очереди.
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система линейных уравнений
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,m+1), получаем упрощённый вид системы.
Решение системы линейных уравнений
Решим систему относительно p0,p1,p2,…,pm+1.
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы
При ρ≠1 получаем
При ρ=1 получаем
Другие одноканальные СМО:
- Одноканальная СМО без очереди;
- Одноканальная СМО без очереди и с ограниченным временем обслуживания;
- Одноканальная СМО без очереди и со случайным результатом обслуживания;
- Одноканальная СМО с m-очередью;
- Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
- Одноканальная СМО с бесконечной очередью;
- Одноканальная СМО с бесконечной очередью и с убывающим потоком заявок;
- Одноканальная СМО замкнутая без очереди;
- Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью;
- Одноканальная СМО замкнутая без очереди и с k-источниками;
- Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью и с k-источниками.
Ссылки
- Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
- Л.Клейнрок. Теория массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1979,стр.121-122.
