СМО n-канальная с m-очередью — различия между версиями
м |
м |
||
| (не показаны 24 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | [[файл:СМОnm.png|thumb|300|СМО с очередью]] | + | [[файл:СМОnm.png|thumb|300|СМО n-канальная с m-очередью]] |
| − | '''[[СМО с | + | '''[[СМО n-канальная без очереди|СМО n-канальная]] [[СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью|с m-очередью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить. |
| + | Максимальное число заявок в системе равно сумме числа каналов и мест в очереди. | ||
| + | == Обозначения == | ||
| + | '''n''' – число каналов обслуживания; | ||
| + | |||
| + | '''m''' – число мест в очереди; | ||
| + | |||
| + | '''λ''' – интенсивность простейшего потока заявок; | ||
| + | |||
| + | '''μ''' – интенсивность простейшего потока обслуживания. | ||
== Описание модели == | == Описание модели == | ||
На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. | На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. | ||
| Строка 21: | Строка 30: | ||
== Граф состояний == | == Граф состояний == | ||
<!--[[файл:СМО21.JPG]]--> | <!--[[файл:СМО21.JPG]]--> | ||
| − | '''М/М/n/m''' – СМО с очередью | + | '''М/М/n/m''' – СМО n-канальная с m-очередью. |
[[файл:СМОnm.png]] | [[файл:СМОnm.png]] | ||
| Строка 29: | Строка 38: | ||
'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны; | '''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны; | ||
| − | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется '''1'''-заявка, она обслуживается '''1'''-каналом; |
| − | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, они обслуживаются '''2'''-каналами; |
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>n-1</sub>''' – в системе имеется '''(n-1)'''-заявок, они обслуживаются '''(n-1)'''-каналами; |
| − | |||
| − | |||
'''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, очереди нет; | '''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, очереди нет; | ||
| − | '''S<sub>n+1</sub>''' – в системе имеется '''(n+1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а | + | '''S<sub>n+1</sub>''' – в системе имеется '''(n+1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''1'''-заявка ожидает в очереди; |
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub>n+ | + | '''S<sub>n+m-2</sub>''' – в системе имеется '''(n+m-2)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''(m-2)'''-заявок ожидают в очереди; |
| − | ''' | + | '''S<sub>n+m-1</sub>''' – в системе имеется '''(n+m-1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''(m-1)'''-заявок ожидают в очереди; |
'''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок ожидают в очереди; | '''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок ожидают в очереди; | ||
| Строка 53: | Строка 60: | ||
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | ||
| − | [[файл:СМО22.JPG]] | + | <!--[[файл:СМО22.JPG]]--> |
| + | [[файл:СДУnm.png]] | ||
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞'''). | Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞'''). | ||
| − | + | == Система линейных уравнений == | |
Система уравнений принимает вид: | Система уравнений принимает вид: | ||
| − | [[файл:СМО23.JPG]] | + | <!--[[файл:СМО23.JPG]]--> |
| + | [[файл:СЛУnm.png]] | ||
Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,n+m'''), получаем упрощённый вид системы. | Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,n+m'''), получаем упрощённый вид системы. | ||
| + | == Решение системы линейных уравнений == | ||
| + | Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,p<sub>2</sub>,…,p<sub>n+m</sub>'''. | ||
| + | |||
| + | <!--[[файл:СМО24.JPG]] [[файл:СМО25.JPG]]--> | ||
| + | |||
| + | [[файл:СЛУnm01.png]] | ||
| + | |||
| + | В результате получаем решение системы: | ||
| + | <!--[[файл:СМО26.JPG]]--> | ||
| + | [[файл:СЛУnm02.png]] | ||
| + | *Заметим, что при '''n>0,m>0,λ<sub>i-1</sub>=λ,μ<sub>i</sub>=iμ,i=1,n,λ<sub>j-1</sub>=λ,μ<sub>j</sub>=nμ,j=n+1,n+m''' [[система массового обслуживания]] становится '''СМО n-канальной с m-очередью'''. | ||
| + | == Основные характеристики системы == | ||
| + | [[файл:СМОnm01.png]] | ||
| − | + | <!--[[файл:СМО27.JPG]]--> | |
| − | + | При '''χ=1''' получаем | |
| − | [[файл: | + | [[файл:СМОnm11.png]] |
| − | + | [[файл:СМОnm12.png]] | |
| − | [[файл: | + | [[файл:СМОnm13.png]] |
| − | + | <!--[[файл:СМО29.JPG]]--> | |
| − | [[файл: | ||
При '''χ≠1''' получаем | При '''χ≠1''' получаем | ||
| − | [[файл: | + | [[файл:СМОnm21.png]] |
| − | + | [[файл:СМОnm22.png]] | |
| − | [[файл: | + | [[файл:СМОnm23.png]] |
| − | *Заметим, что при '''n=1''' СМО с очередью становится [[Одноканальная СМО с очередью|одноканальной]]. | + | <!--[[файл:СМО28.JPG]]--> |
| + | *Заметим, что при '''n=1''' СМО n-канальная с m-очередью становится [[Одноканальная СМО с m-очередью|одноканальной]]. | ||
== [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] == | == [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] == | ||
{{Список СМО}} | {{Список СМО}} | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
| − | *Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. | + | *Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969,стр.173-187. |
[[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | [[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | ||
Текущая версия на 14:57, 24 сентября 2025
СМО n-канальная с m-очередью — это система массового обслуживания, в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить. Максимальное число заявок в системе равно сумме числа каналов и мест в очереди.
Содержание
Обозначения
n – число каналов обслуживания;
m – число мест в очереди;
λ – интенсивность простейшего потока заявок;
μ – интенсивность простейшего потока обслуживания.
Описание модели
На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.
Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.
Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.
После окончания обслуживания один канал освобождается.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.
Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
М/М/n/m – СМО n-канальная с m-очередью.
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
S1 – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом;
S2 – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются 2-каналами;
…;
Sn-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами;
Sn – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет;
Sn+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а 1-заявка ожидает в очереди;
…;
Sn+m-2 – в системе имеется (n+m-2)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-2)-заявок ожидают в очереди;
Sn+m-1 – в системе имеется (n+m-1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-1)-заявок ожидают в очереди;
Sn+m – в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок ожидают в очереди;
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система линейных уравнений
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.
Решение системы линейных уравнений
Решим систему относительно p0,p1,p2,…,pn+m.
В результате получаем решение системы:
- Заметим, что при n>0,m>0,λi-1=λ,μi=iμ,i=1,n,λj-1=λ,μj=nμ,j=n+1,n+m система массового обслуживания становится СМО n-канальной с m-очередью.
Основные характеристики системы
При χ=1 получаем
При χ≠1 получаем
- Заметим, что при n=1 СМО n-канальная с m-очередью становится одноканальной.
Другие СМО:
- СМО n-канальная без очереди;
- СМО n-канальная без очереди и с ограниченным временем обслуживания;
- СМО n-канальная без очереди и со случайным результатом обслуживания;
- СМО n-канальная без очереди и со случайным выбором канала;
- СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
- СМО n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
- СМО n-канальная с m-очередью;
- СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания;
- СМО n-канальная с m-очередью и со случайным результатом обслуживания;
- СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
- СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания;
- СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
- СМО n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
- СМО n-канальная с бесконечной очередью;
- СМО с бесконечным числом каналов;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источниками и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источниками и с частичной взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с частичной взаимопомощью.
Ссылки
- Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969,стр.173-187.
