Одноканальная СМО с m-очередью

Одноканальная СМО с m-очередью

Одноканальная СМО с m-очередью — это система массового обслуживания, в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда канал занят, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить. Максимальное число заявок в системе равно числу мест в очереди плюс 1.

Описание модели

На вход одноканальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания канала μ.

Если заявка застаёт канал свободным, то она принимается на обслуживание и обслуживается каналом. После окончания обслуживания канал освобождается.

Если вновь прибывшая заявка застаёт канал занятым, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/1/0 – Одноканальная СМО с m-очередью.

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, канал свободен;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом;

S₂ – в системе имеется 2-заявки, 1-заявка обслуживается 1-каналом, 1-заявка ожидает в очереди;

…;

S_i-1 – в системе имеется (i-1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, а (i-2)-заявок ожидают в очереди;

S_i – в системе имеется i-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, а (i-1)-заявок ожидают в очереди;

S_i+1 – в системе имеется (i+1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, а i-заявок ожидают в очереди;

…;

S_m-1 – в системе имеется (m-1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, а (m-2)-заявок ожидают в очереди.

S_m – в системе имеется m-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, а (m-1)-заявок ожидают в очереди.

S_m+1 – в системе имеется (m+1)-заявок, одна обслуживается 1-каналом, а m-заявок ожидают в очереди.

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,m+1), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно p₀,p₁,…,p_m+1.

В результате получаем решение системы:

Основные характеристики системы

При ρ≠1 получаем

При ρ=1 получаем

Другие одноканальные СМО:

• Одноканальная СМО без очереди;
• Одноканальная СМО с m-очередью;
• Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
• Одноканальная СМО с бесконечной очередью;
• Одноканальная СМО замкнутая без очереди;
• Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью;
• Одноканальная СМО замкнутая без очереди и с k-источниками;
• Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью и с k-источниками.

Ссылки

• Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.