СМО замкнутая с очередью — различия между версиями
м |
м |
||
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
[[файл:СМОnmnm.png|thumb|300|Замкнутая СМО с очередью]] | [[файл:СМОnmnm.png|thumb|300|Замкнутая СМО с очередью]] | ||
− | '''[[СМО замкнутая без очереди|СМО | + | '''[[СМО замкнутая без очереди|Замкнутая СМО с очередью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой есть фиксированное число источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. |
Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в "число источников"-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она становится в очередь и ожидает освобождения канала, который её может обслужить. | Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в "число источников"-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она становится в очередь и ожидает освобождения канала, который её может обслужить. | ||
== Описание модели == | == Описание модели == | ||
Строка 22: | Строка 22: | ||
== Граф состояний == | == Граф состояний == | ||
<!--[[файл:СМО41.JPG]]--> | <!--[[файл:СМО41.JPG]]--> | ||
− | '''М/М/n/m/n+m''' | + | '''М/М/n/m/n+m''' – Замкнутая СМО с очередью |
[[файл:СМОnmnm.png]] | [[файл:СМОnmnm.png]] | ||
− | |||
− | |||
Рассмотрим множество состояний системы: | Рассмотрим множество состояний системы: | ||
Строка 77: | Строка 75: | ||
== Основные характеристики системы == | == Основные характеристики системы == | ||
[[файл:СМО47.JPG]] | [[файл:СМО47.JPG]] | ||
− | *Заметим, что при '''n=1''' СМО замкнутая становится [[Одноканальная СМО замкнутая|одноканальной]]. | + | *Заметим, что при '''n=1''' СМО замкнутая становится [[Одноканальная СМО замкнутая с очередью|одноканальной]]. |
== [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] == | == [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] == | ||
{{Список СМО}} | {{Список СМО}} | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
*Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, М.,1969. | *Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, М.,1969. | ||
− | |||
[[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | [[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] |
Текущая версия на 17:28, 14 августа 2025
Замкнутая СМО с очередью — это система массового обслуживания, в которой есть фиксированное число источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в "число источников"-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она становится в очередь и ожидает освобождения канала, который её может обслужить.
Содержание
Описание модели
На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает поток заявок от (n+m)-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью λ.
Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.
Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.
После окончания обслуживания один канал освобождается.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.
Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.
Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на поток от одного источника.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
М/М/n/m/n+m – Замкнутая СМО с очередью
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
S1 – в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;
S2 – в системе имеется две заявки, они обслуживаются двумя каналами;
…;
Sk – в системе имеется k-заявок, они обслуживаются k-каналами;
…;
Sn – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет;
Sn+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а одна заявка ожидает в очереди;
…;
Sn+r – в системе имеется (n+r)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а r-заявок ожидают в очереди;
…;
Sn+m – в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок ожидают в очереди;
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.
Решим систему относительно p0,p1,…,pn+m.
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы
- Заметим, что при n=1 СМО замкнутая становится одноканальной.
Другие СМО:
Ссылки
- Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, М.,1969.