Просмотр исходного текста страницы СМО с очередью и с взаимопомощью

[[файл:СМОnmn.png|thumb|300|СМО с взаимопомощью и с очередью]]
'''[[СМО с отказами и взаимопомощью|СМО с взаимопомощью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой всегда есть взаимопомощь между каналами обслуживания: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается всеми каналами, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается частью каналов, иначе если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов и число мест в очереди, то она становится в очередь, в остальных случаях заявка покидает систему (теряется).
== Описание модели ==
На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала '''μ'''. 

Интенсивность потока обслуживания с взаимопомощью между каналами всегда равна '''nμ'''. 

Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается всеми '''n'''-каналами одновременно, при этом производительность увеличивается в '''n'''-раз. 

После окончания обслуживания все каналы освобождаются одновременно. 

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание: часть каналов обслуживает первую заявку, часть приступает к обслуживанию второй заявки. Разделение каналов совершенно произвольное. 

Если система обслуживает '''k'''-заявок ('''k=1,n-1'''), то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание и все '''(k+1)'''-заявок обслуживаются '''n'''-каналами, распределёнными произвольно между заявками, но так, что все каналы заняты обслуживанием. 

Попавшая на обслуживание заявка  обслуживается до конца (заявки терпеливые). 

Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освободившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию остальных заявок, находящихся в системе. Таким образом, при наличии в системе хотя бы одной заявки все '''n'''-каналов всё время будут заняты.  

Если система обслуживает '''n'''-заявок ('''k=n'''), то каждая из них обслуживается одним каналом, а вновь прибывшая заявка встаёт в очередь и ожидает освобождения хотя бы одного из каналов. 

Если в системе имеется '''(n+r)'''-заявок ('''r=1,m-1'''), то '''n'''-заявок из них обслуживаются и '''r'''-заявок ожидают в очереди, а вновь прибывшая заявка становится в очередь. Максимальное число мест в очереди '''m'''.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди '''m'''-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания. 

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
== Граф состояний ==
<!--[[файл:СМО41.JPG]]-->
'''М/М/n/m'''  – СМО с взаимопомощью и с очередью

[[файл:СМОnmn.png]]
[[файл:СМО50.JPG]]

Рассмотрим множество состояний системы:

'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

'''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется одна заявка, она обслуживается всеми '''n'''-каналами;

'''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется две заявки, они обслуживается '''n'''-каналами;

'''…''';

'''S<sub>k</sub>''' – в системе имеется '''k'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами;

'''…''';

'''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, очереди нет;

'''S<sub>n+1</sub>''' – в системе имеется '''(n+1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а одна заявка ожидает в очереди;

'''…''';

'''S<sub>n+r</sub>''' – в системе имеется '''(n+r)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''r'''-заявок ожидают в очереди;

'''…''';

'''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок ожидают в очереди;
== Система дифференциальных уравнений ==
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

[[файл:СМО52.JPG]]

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞''').

Система уравнений принимает вид:

[[файл:СМО53.JPG]]

Суммируя в системе уравнения с первого до  '''i'''-го ('''i=1,n+m'''), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,…,p<sub>n+m</sub>'''.

[[файл:СМО54.JPG]]

В результате получаем решение системы:
[[файл:СМО55.JPG]]
== Основные характеристики системы ==
[[файл:СМО56.JPG]]

При '''χ≠1''' получаем

[[файл:СМО57.JPG]]

При '''χ=1''' получаем

[[файл:СМО58.JPG]]
== [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] ==
{{Список СМО}}
== Ссылки ==
*Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. 
*[[Участник:Logic-samara]] 
[[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]]